大地测量学基础-7

发布于:2021-06-15 08:50:17

第七章 椭球面上的测量计算

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本章学*主要内容:地球椭球、椭球基本参 数、坐标系及其相互关系、椭球面上曲率半径及 弧长,大地线定义与微分方程,本章是后续课程 的基础。

§7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系
一、地球椭球的基本几何参数 地球椭球 参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向 的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做 参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考 椭球面上,并在该面上进行计算,它是大地测量 计算的基准面,同时又是研究地球形状和地图投 影的参考面。

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有关元素:O为椭球中心;NS为旋转轴;a 为长半轴;b为短半轴;子午圈(或径圈或子午 椭圆);*行圈(或纬圈);赤道。 旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个 基本几何参数(元素)来决定的,即: 椭圆的长半轴: a 椭圆的短半轴: b
椭圆的扁率:
? ?
a ?b a

椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率

e?
e? ?

a ?b
2

2

a
a
2

?b b

2

其中:a、b称为长度元素;扁率 反映了椭球体的 扁*程度,如α=0时,椭球变为球体;α=1时,则 为*面。

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e和e?是子午椭圆的焦点离开中心的距离与 椭圆半径之比,它们也反映了椭球体的扁*程度, 偏心率越大,椭球愈扁。 五个参数中,若知道其中的两个参数就可决 定椭球的形状和大小,但其中至少应已知一个长 度元素(如a或b),人们*惯于用a和 ? 表示椭 球的形状和大小,便于级数展开。引入下列符号:
c ? a
2

b

t ? tgB

?

2

? e ? cos
2

2

B

式中B为大地纬度,c为极曲率半径(极点处的 子午线曲率半径), 两个常用的辅助函数,W 第一基本纬度函数,V第二基本纬度函数,
W ? V ? 1 ? e sin
2 2 1 ? e ? cos 2

B B

2

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椭球参数
海福特 克拉索夫斯基 1975年大地坐 标系

年代
1906 1940

长半径m
6378283 6378245

扁率分母
297.8 298.3

采用国家、地 区 美、阿根廷、 比利时、大洋 洲

苏、东欧、中、 朝鲜等
1975年国际第 三个推荐值

1975

6378140

298.257

WGS-84

1984

6378137

298.25722

GPS定位系统

我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭 球参数,1980年西安坐标系应用的是1975年国际 椭球参数,而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。

二、地球椭球参数间的相互关系

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e

2

?

a ?b
2

2

e? ?
2

a ?b
2

2

a
1? e
2

2

b

2

?

b a
2

2 2

1 ? e? ?
2

a b

2 2

(1 ? e )( 1 ? e ? ) ? 1
2

于是有

e

2

?

2 e? 2 1 ? e?

e? ?
2

e

2 2

1? e

关系式归纳如下
a ? b 1? e
2



b ? a 1? e
a ? c 1? e

2

c ? a 1 ? e? ,
2

2

2 e? ? e 1 ? e? ,

2 e ? e? 1 ? e

V ?W

1 ? e? ,
2

W ?V
2

1? e

2

e

2

? 2? ? ?

? 2?

§7-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系

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通常采用以下四种坐标系:大地坐标系、空 间直角坐标系(大地测量中两种基本坐标系)、 子午*面直角坐标系及大地极坐标系。 一、各种坐标系的建立 1、大地坐标系 P点的子午面NPS与起始 子午面NGS所构成的二面角 叫做P点大地经度,P点的法 线Pn与赤道面的夹角B叫P点 的大地纬度,P点的位置用L、 B表示。

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若点不在椭球面上,还要附加另一参数大地 高H,它与正常高及正高的关系为:
H ? H 正常 ? ? ( 高程异常 ) H ? H 正 ? N ( 大地水准面差距 )

若点在椭球面上,H=0。

大地坐标系是大地测量的基本坐标系,其优 点为:⑴它是整个椭球体上统一的坐标系,是全 世界公用的最方便的坐标系统。⑵它与同一点的 天文坐标(天文经纬度)比较,可以确定该点的 垂线偏差的大小。

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2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点,起始子午面与赤道面 交线为X轴,在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴, 椭球体的旋转轴为Z轴,构成右手坐标系O-XYZ, 在该坐标系中,P点的位置用X、Y、Z表示。

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3、子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L,在过P点的子午面上, 以子午圈椭圆中心为原点,建立x,y*面直角坐 标系。在该坐标系中,P点的位置用L,x,y表示。

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4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 如图7-5所示。设椭球面上P点的大地经度L, 在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度 坐标系。连接OP,则∠POx=Φ称为地心纬度, 而0P=ρ称为P点向径,在此坐标系中,点的位置 用L、Φ、ρ表示。 如图7-6所示,设椭球面上P点的大地经度 为L,在此子午面上以椭圆中心O为圆心,以椭 球长半径a为半径作辅助圆,延长P2P与辅助圆 相交于P1点,则0P1与x轴夹角称为P点的归化纬 度,用u表示,在此归化纬度坐标系中P点位置 用L,u表示。

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在这两种坐标中,如果点不在椭球面上,那 么应先沿法线将该点投影到椭球面上,此时的地 心纬度、归化纬度则是此投影点的纬度值,并且 增加坐标的第三量——大地高H。 子午面直角坐标系及地心纬度、归化纬度坐 标系主要用于大地测量公式推导和某些特殊的测 量计算。

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5、大地极坐标系 M为椭圆体面上任意一点,MN为过M点的子 午线,S为连结MP的大地线长,A为大地线在M 点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为 极径、A为极角,就构成了大地极坐标系。P点位 置用S、A表示。
椭球面上的极坐标(S、 A)与大地坐标(L、B)可以 互相换算,这种换算叫大地 主题解算。

二、各种坐标系间的关系

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1.子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 这两个坐标系中,L相同,因此,只需推求x, y同B的关系。 过P点作法线Pn,与x轴之夹角为B,过P点作 子午圈的切线TP,与x轴的夹角为(900+B)。该 夹角的正切值为曲线在P点处之斜率,它等于曲线 在该点的一阶导数。
dy dx ? tg ( 90
?

? B ) ? ? ctgB

P点在以O为中心的子午 椭圆上,必须满足:
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

对x求导,得:
dy

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dx

? ?

b a

2 2

?

x y

同(7-11)式比较可得:
c tg B ? b a
2 2

?

x y

? (1 ? e )
2

x y

因此:
y ? x (1 ? e ) tgB
2

上式代入(7-12),且用
x
2

a co s B
2 2

2

2

乘上式两边,得:
2 2

?cos

2

B ? (1 ? e ) sin
2 2

B? ? a cos B
2 2


x (1 ? e sin
2

B ) ? a cos

B

由此可得:

x ?

a cos B 1 ? e sin B
2 2

?

a cos B W

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7-16

上式代入(7-14)式得:
y ? a ( 1 ? e ) sin B
2

1 ? e sin B
2 2

?

a W

( 1 ? e ) sin B ?
2

b sin B V

7-17

(7-16)(7-17)两式即为子午面直角坐标x、y同大 地纬度B的关系式。 2、空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系 注意到图7-3与图7-4,空间直角坐标系中的 P2P 相当于子午*面直角坐标系中的y, 相当于x, 且两者之经度相同,于是可得:
X ? x cos L Y ? x sin L Z ? y

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3、空间直角坐标系与大地坐标系的关系 将(7-18)(7-20)两式代入(7-24)式可得:
X ? N cos B cos L Y ? N c o s B s in L Z ? N (1 ? e ) s in B
2

若将(7-16)(7-17)两式代入上式,则
X ? Y ? Z ? a co s B W a co s B W b sin B V sin L co s L

若P点不在椭球面上,如图所示。设大地高为 H,P点在椭球面上的投影为 ,则矢量为
? ? ?0 ? H n

因为:

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?X ? ?0 ? ? Y ?Z ?

? ? cos B cos L ? ? ? ? ? N ? c o s B sin L ? ? ? ? ( 1 ? e 2 ) sin B ? ? ? ?

且外法线单位矢量
?cos B cos L ? ? ? n ? ? c o s B sin L ? ? ? sin B ? ?

因此有:
?

?X ? ? Y ? ?Z ?

? ? ( N ? H ) cos B cos L ? ? ? ? ? ( N ? H ) cos B sin L ? ? ? 2 ? ? N (1 ? e ) ? H sin B ? ? ? ?

?

?

该式展开即可得到由B、L、H计算X、Y、Z 的公式。已知P点的空间直角坐标计算相应的大地 坐标,对大地经度L有:

L ? a rc tg

Y X

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L ? a rc sin X

Y
2

?Y

2

L ? a rc c o s X

X
2

?Y

2

大地纬度B的计算比较复杂,通常采用迭代 法进行计算,如图所示:
P P ?? O P ?? P P ?? ? Z ? X
2

?Y

2

? OK
2

P

? Ne

2

sin B

OQ ? Ne

cos B
Z ? Ne X
2 2

由图可知

tgB ? 或 ctgB ?

sin B
2

?Y

X

2

?Y

2

? Ne Z

2

cos B

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上式两端都有B,需进行迭代计算,迭代计 Z tg B ? 算时,B的初值B1由式 确定,用B的初 X ?Y 值计算出 N1和sinB1,按(7-32)式进行第二次迭代, 直到最后两次B值之差小于允许误差为止。 当B已知时,按下式计算大地高:
1 2 2

H ?

Z sin B

? N (1 ? e )
2 2

H ?

X

?Y

2

? N

cos B

由于7-32式左右两端具有不同的三角函数, 这对于迭代很不方便,为克服这一缺陷,建议采 用下面的迭代公式:
t i ?1 ? t 0 ? P ti k ? ti
2 2

2

式中:t

0

? X

Z
2

?Y

,p ?
2

ce X
2

?Y

, k ? 1 ? e?

2

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4、大地纬度B,归化纬度u,地心纬度Ф之 间的关系 1)B与u之间的关系
sin u ? co s u ? 1? e W 1 W co s B
2

sin B

sin B ? V sin u co s B ? W co s u

2)u与Ф之间的关系
tan ? ? 1 ? e tan u
2

3)B与Ф之间的关系
tan ? ? (1 ? e ) tan B
2

§7-3椭球面上的几种曲率半径

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为在椭球面上进行控制测量计算,须了解椭 球面上有关曲线的性质。过椭球面上任意一点可 作一条垂直于椭球面的法线,包含这条法线的* 面叫做法截面;法截面与椭球面的交线叫法截弧 (线)。 包含椭球面一点的法线可作无数个法截面, 相应有无数个法截弧。椭球面上法截线的曲率半 径不同于球面上的法截线(大园弧)曲率半径 (都等于圆球的半径),而是不同方向的法截弧 的曲率半径都不相同。为此先研究子午线及卯酉 线的曲率半径。

一、子午圈曲率半径

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在子午椭圆的一部分上取一微分弧长 DK=dS,相应地有(子午面直角坐标系)坐标增量 dx,点n是微分弧dS的曲率中心,则线段Dn及 Kn即是子午圈曲率半径,用M表示。 由*面曲线的曲率半径定义公式可得:
M ? dS dB

7-36

由微分三角形DKE可得:
dS ? DE sin B ? ? dx sin B

7-37

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(dx取负号,是因为在子午面直角坐标系中, 点的横坐标随纬度B的增大而缩小),(7-37)式 代入(7-36)式,
M ? ? dx dB ? 1 sin B

7-38
x ?

a co s B W

由(7-16)式可求得:
W ? 1 ? e sin B
2 2

dW ? ? ? sin BW ? cos B ? dx dB ? ? a? ? 2 dB W ? ? ? ? ? ?
1 ? e sin B
2 2

dW dB

?

d

dB

?

? 2 e sin B c o s B
2

2 1 ? e sin B
2 2

?

? e sin B c o s B
2

W

上式代入(7-39)式得,
2 2 ? 1 e cos B ? a sin B ? ? a sin B ? ? (W ? ? ? 3 3 dB W W ?W ?

dx

2

? e cos B )
2 2



W
dx dB

2

? 1 ? e sin B
2 2

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则有

? ?

a sin B W
3

(1 ? e sin B ? e c o s B )
2 2 2 2

dx dB

? ?

a sin B W
3

(1 ? e )
2

7-43

(7-43)代入(7-38)则曲率半径为,
M ? a (1 ? e )
2

化简得
M ?

W

3

7-44

c V
3

二、卯酉圈曲率半径

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过椭球面上一点的法 线,可作无数个法截面, 其中一个与该点子午面相 垂直的法截面同椭球面相 截所形成的闭合圈称之为 卯酉圈。PEE′即为过P点的 卯酉圈,半径用N表示。 过P点作以O′为中心的*行圈PHK的切线PT, 该切线位于垂直于子午面的*行圈*面内。因卯 酉圈也垂直于子午面,故PT也是卯酉圈在P点处 的切线,即PT垂直于Pn。所以PT是*行圈PHK 及卯酉圈在P点处的公切线。

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由麦尼尔定理知,假设通过曲面上一点引两 条截弧,一条为法截弧、一为斜截弧,且在该点 上这两条截弧具有公共切线,这时斜截弧在该点 的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘于两截弧* 面夹角的余弦。即

r ? N cos B
*行圈*面与卯酉圈*面之间的夹角即为大 地纬度B,*行圈半径r就等于P点的横坐标x,即:
x ? r ? a cos B W

由此可得卯酉圈半径为:
N ? a W

根据式716(P6)

顾及 a ? c

1? e 和W ? V
2

1? e

2

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则上式又可写为 由图看出,

N ?

c V

Pn ? N ?

PO ? co s B

?

r co s B

也就是说,卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面 和短轴之间的一段法线的长度,亦即卯酉圈的曲 率中心位于椭球的旋转轴上。 上述M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率 半径,在微分几何中统称为主曲率半径。

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三、主曲率半径的计算 P12

四、任意法截弧的曲率半径
子午法截弧是南北方向,其方位角为00或 1800;卯酉法截弧是东西方向,其方位角为900 或2700,这两个法截弧在P点上是正交的。现讨 论在P点方位角为A的任意法截弧的曲率半径计 算公式。 根据欧拉公式,由曲面上任意一点主曲率 半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率半径 的公式为:
1 RA ? cos A M
2

?

sin

2

A

N

RA ?

MN N c o s A ? M sin
2 2

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A

上式分子分母同除M,并顾及
N M ? V
2

? 1??

2

则有,
RA ? N 1 ? ? cos
2 2

? A

N 1 ? e ? cos
2 2

B cos

2

A

上式即为任意方向为A的法截弧的曲率半径 的计算公式。为使用方便,将上式展开级数,
R A ? N (1 ? ?
2

co s

2

A ??

4

co s

4

A ?L )

实际上,总是用*均曲率半径R代替N,

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N ? R 1??

? R (1 ?

1 2

? )
2

并代入上式,略去 ? 项得,
4
2 2

R A ? R (1 ?

1 2

? )( 1 ? ? cos
2

A) ? R ?

R 2

e ? cos B cos 2 A ? R ? ?
2

? ? ?

R 2

e ? cos B cos 2 A
2

上式即为任意方向法截弧曲率半径的实用公 R 式。从式中可以看出, 不仅与点的纬度B有关, 还与过该点的法截弧的方位角有关。 R 当A=00或1800时, 的值最小,此时R ? M (子 R 午曲率半径)当A=900或2700时, 的值最大,此 R 时R ? N (卯酉圈曲率半径);当A由00?900时, R 之值由M?N;当A由900?1800时, 之值由N?M。 值的变化是以900为周期且与子午圈和卯酉圈对称 的。
A
A
0

A

90

A

A

五、*均曲率半径

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由于R 的数值随方位A的变化而变化,给测量 带来不便,在测量工作中,往往根据一定的精度 要求,在一定范围内,把椭球面当作球面来处理, 为此,就要推求该球面的曲率半径--*均曲率半径 (就是过椭球面上一点的一切法截弧(0--2?),当 其数目趋于无穷时,它们的曲率半径的算术*均 值的极限,用R表示)。其公式为
A

R ?

MN
2



R ?

b W

?

c V
2

?

N V

?

a W .
2

(1 ? e )
2

即椭球面上任意一点的*均曲率半径R等 于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的 几何*均值。

六、M、N、R的关系

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椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起 沿法线向内量取,其长度通常是不相等的,由前 面公式可知它们有如下关系,

N ? R ? M
只有在极点上,它们才相等,且均等于极曲 率半径c,即:

N 90 ? R 90 ? M 90 ? c

§7-4椭球面上的弧长计算

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在研究与椭球有关的一些测量计算时,例如 研究高斯投影计算,往往要用到子午线弧长及* 行圈弧长,现推导其计算公式。 一、子午线弧长计算公式 子午椭圆的一半,其端点与极点相重合。而 赤道又把子午线分成对称的两部分,因此,我们 只推导从赤道开始到已知纬度B子午线弧长的计 算公式。 取子午线上某微分弧 ,令P点纬度为B,P?点 纬度为B+dB,P点的子午圈曲率半径为M,于是有

d x ? M dB

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要计算从赤道开始到任意 纬度B的子午线弧长,必须求出下 列积分值:
X ?

?

B

MdB ?

0

?

B

a (1 ? e )
2

0

W

3

dB ? a (1 ? e ) ? (1 ? e sin
2 2 0

B

2

?

3 2

B)

dB

7-63

将积分因子按二项式定理展 开为级数形式
(1 ? e sin B )
2 2 ? 3 2

? 1?

3 2

e sin B ?
2 2

15 8

e sin B ? L
4 4

为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍 数函数。则由于:
sin B ?
2

1 2 3 8

? ?

1 2 1 2

co s 2 B co s 2 B ? 1 8 co s 4 B

sin B ?
4

L L L L L L L L L L L

于是有:

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(1 ? e sin B )
2 2

?

3 2

? 1? (

3 4

e ?
2

3 4

e co s 2 B ) ? (
2

45 64

e ?
4

15 16

e co s 2 B ?
4

15 64

e co s 4 B ) ? L
4

令常系数:
A ? 1?
B ?

3 4
3 4

e ?
2

45 64

e ?L
4

e ?
2

15 16

e ??
4

C ?

15 64

e ??
4

将其代入(7-63)式中:
X ? a (1 ? e ) ? ( A ? B co s 2 B ? C co s 4 B ? ? ) d B
2 0 B

积分后得由赤道至子午线上某点的子午弧长公式:
? ? B B C X ? a (1 ? e ) ? A ? s in 2 B ? s in 4 B ? L ? ? 2 4 ? ?
2

二、由子午线弧长求大地纬度

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利用子午线弧长反算大地纬度在高斯投影坐 标反算公式中要用到,反算公式可以采用迭代法 和直接解法。公式参考教材P20。 三、*行圈弧长公式 旋转椭球体的*行圈是一个圆,其半径就是 圆上任意一点的子午面直角坐标x,
r ? x ? N co s B ? a co s B 1 ? e sin B
2 2

如果*行圈上有两点,其经差 写出*行圈弧长公式:
S ? N cos B l ??

l ?? ? L 2 ? L1

,可

? ??

四、子午线弧长和*行圈弧长变化的比较

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从表中可以看出,单位纬差的子午线弧长随 B的增大而缓慢地增大;而单位经差的*行圈弧 长则随B的增大而急剧缩短。同时还知,子午弧 长1°约为110KM,1′约为1.8KM,1″约为30M; 而*行圈弧长仅在赤道附*才与子午线弧长大体 相当,随着B的增大它们的差值愈来愈大。 五、椭球面梯形图幅面积的计算 由两子午线和两条*行圈围成的椭球表面称 为椭球面梯形。现在我们来讨论椭球梯形面积的 计算,计算公式如下:
P ? b ( L 2 ? L1 ) sin B ?
2

2 3

e sin B ?
2 3

3 5

e sin B ?
4 5

4 7

B2

e sin B ? K
6 7 B1

地球椭球的全面积:

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PE ? 4 ? b (1 ?
2

2 3

e ?
2

3 5

e ?
4

4 7

e ?K )
6

§7-5大地线
我们知道,两点间的最短距离,在*面上是 两点间的直线,在球面上是两点间的大圆弧,那 么在椭球面上又是怎样一条线呢?经研究确认为 它是一条大地线。 一、相对法截线 设在椭球面上任取两点A、B,其纬度分别 为B1和B2 ,且B1≠B2。过A、B两点分别作法线与 短轴交于 n 和 n 点,与赤道面分别交于Q 和 Q 。现 证明 n 和 n 将不重合。
a b

1

2

a

b

由图可知

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O n a ? Q 1 n a sin B 1

On b ? Q 2 n b sin B 2

顾及(7-23)式 Q n ? 可写成

Ne
2

2

,上式又

O n a ? N 1 e sin B 1
O n b ? N 2 e sin B 2
2

n 故当 时 B ? B , ? n ,故 n 和 n 不重合,因 此(1)椭球面上一点的纬度愈高,法线与旋转轴 的交点愈低;(2)纬度不同的两点,法线必交于 旋转轴的不同点;(3)当两点的纬度不同,又不 在同一子午圈上时,这两点的法线将在空间交错 而不相交。
1 2

a

b

a

b

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因此当两点不在同一子午圈上,也不在同一 *行圈上时,两点间就有两条法截线存在。 现假定经纬仪的纵轴同A,B 两点的法线 A n 和 B n 重合(忽略 垂线偏差),如此以两点为测站, 则经纬仪的照准面就是法截面。 用A点照准B点,则照准面An B 同 椭球面的截线为 AaB ,叫做A点的 正法截线,或B点的反法截线;同理,由B点照准A 点,则照准面 Bn A 同椭球面的截线为BbA ,叫 做B点的正法截线,或A点的反法截线。因法线 互 不相交,故 A n 和 B n 这两条法截线不重合。我们把 AaB 和 BbA 叫做A、B两点的相对法截线。
a b
a

b

a

b

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由上式可知,当 B ? B 时 , On ? On ,说明,某 点的纬度愈高,其法线与短轴的交点愈低,即法截 线 BbA 偏上,而 AaB 偏下。由此,现将AB方向在 不同象限时,正反法截线的关系表示为图7-18: 当A、B两点位于同一子午圈或 同一*行圈上时,正反法截线则合 二为一,这是一种特殊情况。而通 常情况下,正反法截线是不重合的。 因此在椭球面上A、B、C三点处所 测得的角度(各点上正法截线之夹 角)将不能构成闭合三角形。为克 服这个矛盾,在两点间另选一条单 一的大地线代替相对法截线,从而 得到由大地线构成的单一的三角形。
2 1 b a

二、大地线的定义和性质

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椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。在微 分几何中,大地线(又称测地线)另有这样的定义 “大地线上每点的密切面(无限接*三个点构成的 *面)都包含该点的曲线法线”亦即“大地线上各 点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线 互不相交,故大地线是一条空间的曲面曲线。 假如在椭球模型表面A、B两点之间,画出相对 法截线,然后在A、B两点上各插一个大头针,并紧 贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋,并设 橡皮筋和椭球面之间没有磨擦力。则橡皮筋形成一 条曲线,恰好位于相对法截线之间,这就是一条大 地线,由于橡皮筋处于拉力之下,故它实际上是两 点的最短线。

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不在同一子午圈或不在同一* 行圈上的两点的正反法截线是不重 合的,它们之间的夹角 ,在一等 三角测量中可达千分之四秒,可见 此时是不容忽视的。大地线是两点 间唯一最短线,而且位于相对法截 线之间,并靠*正法截线,它与正 法截线间的夹角为
? ?
1 ? 3

在一等三角测量中, 数值可达千分之一二秒, 可见在一等或相当于一等三角测量精度的工程三 角测量中是不可忽视的。

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大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫 米,所以在实际计算中,这种长度差异可以忽略 不计。但是,根据大地线的性质可知,在椭球面 上进行测量计算时,应以两点间的大地线为依据。 在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地 线的方向、距离。 三、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程 设P为大地线上任一点,其经度为L,纬度为 B,大地方位角为A,当大地线增长dS到P1点时,则 上述各量相应变化L+dL,B+dB,A+dA。对应于 PP1的过P点的*行圈变化为PP2,PP1P2为一椭球面 直角三角形,由于该三角形无限小,可视为*面 三角形,因

M dB ? dS cos A

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dB ?

cos A M

dS

7-148



N cos BdL ? dS ? sin A
dL ? s in A N cos B dS
7-149

再过P和P1分别作子午线的切线, 由于P和P1无限接*,故可视为 两者的切线同交于短轴的延长线上的T点。由PT和 P1T所决定的*面可视为通过P和P1点切*面,同 时由于P2也无限接*于P1,所以可视为在切*面 上,因此由小扇形TPP2可得
dA ? rdl PT ? N cos Bdl NctgB ? sin Bdl ? sin A N tgBdS

7-152

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(7-148)、(7-149)和(7-152)三个关系式称为大地 线微分方程,在解决与椭球体有关的一些测量计算 中经常用到。 克莱劳方程:

ln sin A ? ln r ? ln C


r ? sin A ? C

式中C也叫大地线常数,该式即为著名的克 莱洛方程,也叫克莱洛定理。它表明:在旋转椭 球面上,大地线各点的*行圈半径与大地线在该 点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。克莱洛 方程在椭球大地测量学中有重要意义,它是经典 的大地主题解算的基础。

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某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿 越赤道时的大地方位角的正弦乘积,或者等于该 大地线上具有最大纬度的那一点的*行圈半径。

§7-6将地面观测的方向值归算到椭球面
参考椭球面是测量计算的基准面,而野外的 各种测量工作都是在地面上进行的,测站点和照 准点一般都超过参考椭球面一定高度,观测的基 准线不是各点相应的椭球面的法线,而是各点的 垂线,各点的垂线与法线间存在着垂线偏差,因 此,也就不能直接在地面上处理观测成果,而应 将地面观测元素(方向和距离)归算至椭球面上。

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在归算中有两条基本要求:(1)以椭球面 的法线为基准;(2)将地面观测元素化为椭球 面上大地线的相应元素。 一、将地面观测的水*方向归算至椭球面----三 差改正 将水*方向归算至椭球面,包括垂线偏差改 正、标高差改正及截面差改正,*惯上称此三项 为三差改正。 1.垂线偏差改正 地面上所有水*方向的观测都是以垂线为根 据的,而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。 因此在每三角点上,把以垂线为依据的地面观测 的水*方向值归算到以法线为依据的方向值而应 加的改正定义为垂线偏差改正。

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垂线偏差改正同经纬仪垂直轴改正相似,以 测站A为中心作出单位半径的辅助球,u是垂线偏 差,它在子午圈和卯酉圈上的分量分别为? , ? , M是地面观测目标m在球面上的投影。若M 在 ZZ O 垂直面内,无论观测方向以法线为准或以垂线为 准,照准面都是一个,而无需作垂线偏差改正, M 因此我们把AO方向作为参考方向。若 不在 ZZ O 垂 直面内,如果以垂线 AZ 1 为准,照准m点得OR 1 ;如 果以法线AZ为准,则得OR。由此可见,垂线偏差 对水*方向的影响是( R ? R1 ) ,这个量就是? 。 垂线偏差的计算公式为:
1 1

u

? ? u? ? ? (? sin A m ? ? cos A m ) ctgZ
? ? (? sin A m ? ? cos A m ) tg ? 1

1

7-162

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式中 ? , ? 是测站点上的垂线偏差在子午圈 和卯酉圈上的分量,它们可在测区的垂线偏差分 量图中内差取得,从(7-162)式中可以看出,垂线 偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测 方向的天顶距(或垂直角)有关。

2.标高差改正

?

h

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标高差改正又称由照准 点高度引起的改正。我们知 道,不在同一子午面或不在 同一*行圈上的两点的法线 是不共面的。因此,当进行 水*方向观测时,如果照准 点高出椭球面某一高度,则 照准面就不能通过照准点的 法线同椭球面的交点,由此 引起的方向偏差的改正称标 高差改正以 ? 表示。
h

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A为测站点,若测站点观测值已加垂线偏差 改正,则可认为垂线与法线一致。这时测站点在 椭球面上或者高出椭球面某一高度,对水*方向 是没有影响的。这是因为测站点法线不变,则通 过某一照准点只能有一个法截面,为此我们设A 在椭球面上。标高差改正的计算公式为:
? h?? ?
e
2

2

H 2 (1) 2 co s B 2 sin 2 A1

2

7-163

式中B2为照准点大地纬度,A1为测站点至照 准点的大地方位角;H2为照准点高出椭球面的高 程,它由三部分组成:

H

2

? H常 ?? ? a

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H常为照准点标石中心的正常高,ξ为高程异 常,a为照准点的觇标高。 其中 (1) ? ? ?? / M , M 是照准点纬度B2相应的子午圈 曲率半径。实用中为计算方便,设
2 2 2

K1 ?

e

2

2

H 2 (1) 2 cos

2

B2

则(7-163)式变为:

? ? h? ? K 1 sin 2 A1
K1在《测量计算用表集》(之一)中有表列数值 ,以照准点的高程H2(单位米)和照准点纬度B2 为引数查取。由上可知,标高差改正主要与照准 点的高程有关。经此项改正后,便将地面观测的 水*方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。

3.截面差改正 ?

g

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在椭球面上,纬度不同的两点 由于其法线不共面,所以在对向观 测时相对法截弧不重合,应当用两 点间的大地线代替相对法截弧。这 样将法截弧方向化为大地线方向应 加的改正叫截面差改正,用 ? 表示。 截面差改正计算公式为
g

? ? g? ? ?

e

2

12 ? ??

S ( 2 ) 1 cos

2

2

2

B 1 sin 2 A1
? ??
1

, N 为测站点 式中S为AB间大地线长度, N 纬度B1相对应的卯酉圈曲率半径。 (2)1 ?
1

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4.三差改正的计算 为了在内业计算时不影响外业观测精度,各 等三角测量在归算时对取位的要求是不同的。按 作业中的有关规定:一等需算至0.001//;二等为 0.01//;三等和四等为0.1//。 在一般情况下,一等三角测量应加三差改正; 二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正,而 不加截面差改正;三等和四等三角测量可不加三 差改正,但当 ? ? ? ? 1 0 ?? 或H>2000m时,则应分 别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。即对特殊 情况应依测区实际情况具体分析,然后再确定是 否加入三差改正。经过三差改正后,最后得到椭 球面上相应的各大地线的方向值。

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二、将天文方位角归化为大地方位角---起始方位 角 在布设国家天文大地网时,为了控制三角网 中方位角传算误差的积累,要求在一等三角锁的 两端和中央,以及二等网的中间等处,都要在起 始边的两个端点上,用天文观测的方法测定它们 的天文经度λ 、天文纬度φ 和该边的天文方位角α 。 在特种工程测量控制网中,有时也有这样的要求。 天文方位角α是以测站的垂线为依据的,因此必须 将它归算至椭球面以测站点相应的法线为依据的 大地方位角A,这种归算又称起始方位角的归算。 将天文方位角归化为大地方位角的计算公式是:
A ? ? ? ( ? ? L ) sin ? ? ? u

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式中A为测站点到照准点的大地方位角,α为测站 点处相应方向的天文方位角;L为测站点的大地 经度;λ 为测站点的天文经度; φ为测站点的天 ? 文纬度; 为垂线偏差改正数。当照准点目标高度 ? 不大时,天顶距Z接*于900时, u 可勿略不计, 因此上式可写为:
u

A ? ? ? ( ? ? L ) sin ?

该式又称为拉普拉斯方程式,大地方位角又 叫拉普拉斯方位角,在三角点上观测天文经度、 天文纬度时,该点叫拉普拉斯点。

三、观测天顶距受垂线偏差影响的改正 用三角高程方法测定相邻三角点的大地高差 时,在三角点P1和P2上必须进行天顶距的观测,

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设观测值分别为 Z ? 和 Z ? 。但在 地面上观测天顶距是以垂线为 依据的,而计算两点间的大地 高差是以法线为依据,即这时 要用归化后的天顶距 Z 和 Z 计 算大地高差,因此对观测天顶 距应加垂线偏差改正数。垂线 偏差在测线的分量为 u ?? ? ? ?? cos A ? ? ?? sin A
1 2

1

2

由图可知,大地天顶距 Z 和 Z 的计算公式为
1 2

? ? ? z 1 ? z 1? ? u 1 ? z 1? ? ? 1?? cos A ? ? 1? sin A

? ? z 2 ? z ?? ? u 2 ? z ?? ? ? 2? cos A ? ? 2? sin A 2 2

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式中A为测站点至照准点的大地方位角。利 用上式公式计算出的大地天顶距Z可用于计算高 差,此高差称为大地高差。但三角高程测量的精 度是有限的,若提高其计算精度,必须设法克服 大气折光的影响,同时要在天顶观测值中引入垂 线偏差改正数。

§7-7 将地面观测的长度归算到椭球面
根据测边使用仪器的不同,地面长度的归算 可分为两种:一是基线尺量距的归算;二是电磁 波测距的归算,现分别进行研究。 一、基线尺量距的归算

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将基线尺测量求得的长度加入尺段倾斜改正 后,可认为它是基线*均水准面上的长度值,用S0 表示。而我们所求的是椭球面上的大地线的长度S, 因此产生了长度归算问题。 1. 垂线偏差对长度归算的影响 由于垂线偏差的存在,使得垂线和法线不一 致,水准面不*行于椭球面。为此在长度归算中 应首先消除这种影响。假设垂线偏差沿基线是线 性变化的,则垂线偏差u对长度归算的影响式是:
?su ?
1 2

? ? u 1? ? u 2? 2 ? ??

? ?h ?

? ? u 1? ? u 2? 2 ? ??

(H

2

? H1)

式中u ?? 和u ?? 为在基线端点1和2处垂线偏差在基线 ? 方向上的分量; ? h 为各个测段测量的高差总和; H1和H2为基线端点1和2处的大地高。

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从式中可以看出,垂线偏差对基线长度归算 的影响,主要与垂线偏差分量u及基线端点的大 地高差 ? ? h 有关,其数值一般比较小,此项改 正是否需要应结合测区及计算精度要求的实际情 况进行具体分析。 2. 高程对长度归算的影响 假设基线两端点已经过垂线偏差改正,则基 线*均水准面*行于椭球体面。此时由于水准面 离开椭球体面一定距离,也引起长度归算的改正。 如图AB为*均高程水准面上的基线长度,以S0 表示,现要计算其在椭球面上的长度S,由图可 知
S0 S ? R ? Hm R ?1? Hm R

由此得椭球面上的长度为

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S ? S 0 (1 ?
H
m

H

m

)

?1

R
2

(H ? H ) 式中 即基线端点* 2 均大地高程;R为基线方向法截线 曲率半径,按(7-85)式计算。
1

?

1

如果将上式展开级数,取至二次项,则有
S ? S 0 (1 ? Hm R ? H R
2 m 2

)

由此式可得由高程引起的基线归化改正数公式
?S H ? ? S 0 Hm R ? S0 Hm R
2 2

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可见此项改正数主要与基线的*均高程及长 度有关。 顾及以上两式,则有地面基线长度归算到椭 球面上长度的公式为:
S ? S 0 (1 ? Hm R )
?1

?

? ? u 1? ? u 2? 2?

(H 2 ? H 1)

二、电磁波测距的归算 电磁波测距仪测得的长度是连 接地面两点间的直线斜距,也应将 它归算到参考椭球面上。如图大地 点Q1和Q2的大地高分别为H1和H2 , 其间用电磁波测距仪测得的斜距为D, 现要求大地点在椭球面上沿法线的 投影点Q‘1和Q’2间的大地线的长度S。

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我们知道:1) 在椭球面上两点间大地线长度 与相应法截线长度之差是极微小的,故可忽略不 计,这样可将两点间的法截线长度认为是该两点 间的大地线长度;2) 两点间的法截线长度与半径 等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小 (如当S=640KM时,之差等于0.3米;S=200KM 时,之差等于0.005m)。由于工程测量中边长一 般为几公里,最长也不过十几公里,因而,这种 差异又可忽略不计。因此所求的大地线长度可以 N R ? 认为是半径 相应的圆弧长。则 1 ? e ? cos B cos A 在*面三角形 Q1 Q2 O中,由余弦定理得:
A 2 2 2 1 1

cos ? ?

?R A

? H 1 ? ? ?R A ? H 2 ? ? D
2 2

2

2 ? R A ? H 1 ?? R A ? H 2 ?



cos ? ? cos

S RA

? 1 ? 2 sin

2

S 2RA

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由以上两式得:
sin
2

S 2RA

?

D ? (H 2 ? H 1)
2

2

4 ( R A ? H 1 )( R A ? H 2 )
H 2 ? H1 D (1 ? H1 RA )( 1 ? H2 RA )

化简得:
S ? 2 R A arcsin D 2RA 1? ( )
2

上式按反正弦函数展开级数并舍去五次项得:

1? (

H 2 ? H1 D )( 1 ?

)

2

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S ? D (1 ?

H1 RA

H2 RA

? )

D

3 2

24 R A

此式即为电磁波测距的归算公式。式中大地 高H由两项组成:一是正常高,一是高程异常。 为保证S的计算精度不低于 10-6级,当D<10KM时, 高差Δh=H2-H1 的精度必须达0.1m;当D>10KM时, 必须达1m。大地高H本身的精度应达5m级,而* 均曲率半径RA达1公里即可。现对上式进一步简 化如下 2 3
S ? D? 1 ?h ?D Hm RA ? D 2 D 24 R A
2

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(H ? H ) 式中 显然,上式右端第二项是由于 2 控制点之高差引起的倾斜改正的主项。经过此项 改正,测线已变成*距;第三项是由于*均测线 高出参考椭球面而引起的投影改正,经过此项改 正后,测线已变为弦线;第四项则是由弦长改化 为弧长的改正项。(7-177)式也可用下式表达:
1 2

Hm ?

1

S ?

D

2

? ? h (1 ?
2

H

m

)?

D

3 2

RA

24 R A

式中第一项显然是经高差改化后的*距。 将以上两式同(7-177)式相比较,我们便得两点 间的弦长为, H ?H
1? (
2 1

)

2

d ? D (1 ?

D H1 RA )( 1 ? H2 RA )

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此式在某些运算中有时用到。 经过以上各项改正的计算,即将地面上用电 磁波测距仪测得的两点间的斜距化算到参考椭球 面上。

§7-8椭球面上三角形的解算
前面几节的方法可以将地面上的方向、起 始边长及起始方位角归化到椭球体面,从而得 到椭球面上由大地线组成的三角形。该网中少 数的起始边是已知的,但其余各边长度是未知 的,因此需通过三角形的解算求得。 一、用勒让德尔定理解算球面三角形

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椭球面上的三角形是由大地线组成的,而大 地线是一条空间曲线,该曲线上每一点处的曲率 半径各不相同,因此三角形解算就变得十分复杂 了。经研究表明:半径为140KM范围内的椭球面 可当作球面上的一部分看待,球的半径可选择为 三个曲面接触点的*均曲率半径。若在半径为 140KM的圆内绘一内接等边三角形,则每边的长 度为240KM。这就是说,当三角形边长小于 240KM时,就可把它当作球面三角形解算,两者 对应的边长相等,对应角之差小于0.001//。国家 一等三角形的*均边长在25KM左右,所以将其 当作球面三角形来解算精度完全可以保证。

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勒让德尔定理:如果*面三角形和球面三角形 对应边相等,则*面角等于对应球面角减去三分 之一球面角超。设球面三角形 A B C 的三边为a , b , c , 球面角超为 ? ;另一*面三角形A B C ,其三边也 为 a , b , c ,但它们的角度与球面三角形的对应角度 有如下关系:
0 0 0

1

1

1

A1 ? A 0 ?

?
3

B1 ? B 0 ?

?
3

C1 ? C 0 ?

?
3

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即如果球面三角形的各角减去三分之一球面 角超,就可得到一个对应边相等的*面三角形, 从而达到解算球面三角形的目的。 二、球面角超计算 S ? ?? ? 球面角超 的计算公式为: R ? ?? S为*面三角形的面积。 球面角超定义: ? ? A ? B ? C ? 180 0
2

? ?? ?

S R
2

? ?? ?

bc sin A1 2R
2

?? ?

ac sin B1 2R
2

?? ?

ab sin C1 2R
2

??

设:f ?

? ??
2R
2

f值可以以纬度为引数,在专门 的数表中查取。

? ?? ? f ? bc sin A1 ? f ? ac sin B1 ? f ? ab sin C1

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化算*面角需要用球面角超,而球面角超的 计算又需要用*面角,因此可直接用球面角代替 *面角计算球面角超,虽然带有误差,但研究表 明:当边长不大于90km时,这种误差小于0.0005″, 可忽略。
三、球面三角

1、正弦公式
sin a sin A ? sin b sin B ? sin c sin C

2、余弦公式
co s c ? co s a co s b ? sin a sin b co s C co s a ? co s b co s c ? sin b sin c co s A co s b ? co s c co s a ? sin c sin a co s B
co s A ? ? co s B co s C ? sin B sin C co s a



co s B ? ? co s C co s A ? sin C sin A co s b co s C ? ? co s A co s B ? sin A sin B co s c

练*思考题

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1、试推证子午圈曲率半径的计算公式。 2、简要叙述M、N、R三种曲率半径之间的关系。 3、在子午面直角坐标系和大地坐标系中,推求 子午面直角坐标x、y与大地坐标L和B的关系。 4、大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面 和基准线? 5、卯酉圈曲率半径N与子午圈曲率半径M何时有 最大值?何时有最小值?

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6、某椭球面三角形ABC(见图7-1),其*均纬 度Bm=33°50′,起算边长AC=b=47652.597m, 三角形的三个内角观测值为 α=70°46′03.49″,β=65°05′15.01″, γ=44°08′45.68″,试解算椭球面三角形ABC (计算表格参考表7-2和表7-3)。


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