第2章 *面汇交力系和*面力偶系

发布于:2021-06-11 05:50:08

工程力学

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

工程力学
第二章 *面汇交力系和*面力偶系

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

汇交力系和力偶系是两种最简单的力系,也称为

基本力系,是研究复杂力系的基础。

汇 交 力 系

汇交力系的合成

几何法(条件)

汇交力系的*衡条件

解析法(条件)

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

§2-1 *面汇交力系概念 §2-2 *面汇交力系*衡的几何法

§2-3 力的投影 §2-4 *面汇交力系合成与*衡的解析法
§2-5 力矩和合力矩定理 §2-6 力偶和力偶钜

§2-7 *面力偶系的合成和*衡的条件
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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

§2.1 *面 汇交力系的概念
*面汇交力系:一个力系的所有各力作用线都 位于同一*面内,且汇交于一点。
F2

F1

F3

O

*面汇交力系

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

§2.2 *面汇交力系合成——几何法
一、汇交力系合成的几何法(矢量法) FR1 F1 O F4 F1、F2、F3、F4 为*面汇交力系。 F2 F3 F1 FR2
F2

O F3 F4

FR

FR1=F1+F2 FR2=FR1+F3

合力的表达式:

FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4

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工程力学 (1)力的多边形法则

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

把各力矢首尾相接,连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR,力系中各力称为合力FR的分力。 F2 b F1 c F3 FR1 d

a

FR2 F4 e FR

? 得到的多边形,称为力多边形,合力就是力多边形的封闭边。

? 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。 东北大学秦皇岛分校

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

任意改变力的合成的先后次序,虽然得到的力的多边形 形状不同,但合力完全相同,即力合成的多边形法则合成 的合力与各个分离合成的先后次序无关。

F2

d
FR F4 e b

c F1
a

F3

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工程力学 (2)*面 汇交力系的合成结果

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

*面汇交力系可以合成为一个合力,其大小和方向由 力的多边形封闭边表示,作用线通过各力的汇交点,即 合理等于各个分力的矢量和(几何和)。

矢量的表达式:FR = F1+ F2+ F3+ · · · + Fn

? ? Fi
i ?1

n

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

用几何法求汇交力系的合力时,应注意以下几点: ① 按一定的比例画出各力的大小,方向要准确;

② 力多边形中各力必须首尾相连。合力的方向则是从
第一个力的起点指向最后一个力的终点; ③ 作力多边形时,可以任意变换力的次序,合成的结 果并不改变。

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工程力学 二、汇交力系*衡的几何条件 汇交力系*衡的充要条件是:

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

力系的合力FR等于零,或力系的矢量和等于零。 用矢量式表达为:
n

FR ? ? Fi ? 0
i ?1

汇交力系*衡的几何条件是:
力系的力多边形自行封闭。

FR
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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【例2.1】 一重物W重量为20KN,如图所示位置*衡。如不
计绳索的自重和伸长,BC处于水*位置,φ= 30? ,试求 绳索AB和BC的张力。 A

30? B C

W

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【例2.2】 支架的横梁AB和斜杆DC彼此以铰链C相连接,并 以铰链A、D连接于竖直墙上,如图所示。已知AC=CB;
杆DC与水*线成45? ;载荷P=10KN,作用于B处。梁和

杆的自重忽略不计,求铰链A的约束反力和杆DC所受的 力。 P
A C 45? D B

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

几何法解题步骤
① 选研究对象; ② 作出受力图; ③ 作力多边形,选择适当的比例尺; ④ 求出未知数。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

几何法解题不足
① 精度不够,误差大 ; ② 作图要求精度高; ③ 不能表达各个量之间的函数关系。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【练*题1 】水*梁AB 中点C 作用着力F,其大小等于20kN,
方向与梁的轴线成60? 角,支承情况如图(a)所示,试求固定铰 链支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。

A

B

C
a (a) a

30?

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

解:(1) 取梁AB 作为研究对象。
(2) 画出受力图。 (3) 应用*衡条件画出F、FA和FB 的闭合力三角形。

(4) 解出:F A=Pcos30?=17.3kN,F B=Psin30?=10kN。

60? (b)
30?

60? 30?

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

§2.3 力的投影
一、力在*面坐标轴上的投影 y B y

A
O a

?
Fx

F b x

Fy ? F ? A a? Fx O a F b x
Fy

b?

B

x

Fx ? F cos ?

Fy ? F cos ?
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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

结论:力在某轴上的投影,等于力的大小乘以力与该 轴正向间夹角的余弦。

当α为锐角时,Fx为正值; 当α为钝角时, Fx为负值 。

力在轴上的投影是代数量。

当投影Fx 、Fy 已知时,则可求出力 F 的大小和方向:

F ? F ?F
2 x

2 y

Fx cos ? ? F

cos ? ?

Fy F

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工程力学 二、合力投影定理

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力F1、F2, 并用几何法画出其合力。

y B F 2 F1 C A
FR

O

x

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工程力学 各力在x轴上投影:

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

FRx ? ac, F1x ? ab, F2x ? bc
各力在y轴上投影:

y
c? a?
b?

B F 2 F1 C A a b
FR

FRy ? a?c?, F1y ? a?b?, F2y ? ?b?c?
由图可知:

O

c

x

ac ? ab ? bc, a?c? ? a?b? ? b?c?
即: FRx ? F 1x ? F 2x ,

FRy ? F 1y ? F 2y
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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

推广到任意多个力F1、F2、? Fn 组成的*面汇交力系,可 得:

FRx ? F1x ? F2 x ? ?????? ? Fnx ? ? Fix
i ?1 n

n

FRy ? F1 y ? F2 y ? ?????? ? Fny ? ? Fiy
i ?1

合力投影定理:合力在任一轴上的投影等于它的各分 力在同一轴上的投影的代数和。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

§2.4 汇交力系的合成与*衡—解析法
一、汇交力系合成的解析法 根据合力投影定理得:

FRx ? F1x ? F2 x ? ?????? ? Fnx ? ? Fix
i ?1 n

n

FRy ? F1 y ? F2 y ? ?????? ? Fny ? ? Fiy
i ?1

则合力的大小和FR的方向:

FR ? F ? F ?
2 Rx 2 Ry

?? F ? ? ?? F ?
2 xi yi

2

tan ? ?

FRy FRx

F ? ? ?F

yi

xi

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工程力学 二、汇交力系*衡的解析条件

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

汇交力系*衡的充要条件是:力系的合力等于零 即:

FR ?
满足

?? F ? ? ?? F ?
2 xi yi

2

?0

?F
代数和分别等于零。

xi

? 0,

?F

yi

? 0,

即:汇力系的*衡条件是力系中各力在x轴和y轴投影的

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

采用解析法求解*衡问题时,未知铰链约束反力的方向 一般不能直接确定

假设指向:一般假设为坐标轴的正向

计算结果为正 假设方向与实际方向相同

计算结果为负, 假设方向与实际方向相反

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【例2.3】 水*力P作用在门式刚架的D点,如图所示,刚 架的自重忽略不计。试求A、B两处的约束力。

P
a

D

2a C

A

B

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工程力学 解:1)选取刚架为研究对象 ; 2)画受力图; 3)建立坐标系,列*衡方程:

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

y

2a C

P
a

D

? Fxi ? 0, P ? FA ? cos? ? 0 ? Fyi ? 0, FA ? sin ? ? FB ? 0
cos ? ? 2a 5a a sin ? ? 5a

A FA O

?

5a
FB

B x

5 P, 4)联立求解: FA ? ? 2

P FB ? 2

FA为负值,说明图中所假设的指向与其实际指向相反, FB为正值,说明图中所假设的指向与其实际指向相同。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【例2.4】 一拱形桥由三个铰拱组成,如图所示。各拱重 量不计,已知作用于H点的水*力F,试求A、B、C、D 处各个支座反力。 E F G H Fp a A a B C D a a

a

a

a

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

投影法的符号法则:
当由*衡方程求得某一未知力的值为负时,表示原先 假定的该力指向和实际指向相反。

求解汇交力系*衡问题的主要步骤和要点如下:
1)根据题意,选取研究对象; 2)画受力图。 3)作力多边形或列*衡方程。 4)求解未知量并分析结果。 求解汇交力系*衡问题的重点是解析法。

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工程力学 【练*题2】

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

支架的横梁AB与支杆BC在B点用铰链连接,

梁的A端以及支杆的C点以铰链固定在铅垂墙上。已知力F 作用在梁中间,即 AD = DB ,且 F = 15kN ,支杆 BC 与水 *横梁成 30o 角。设横梁和支杆的重量忽略不计,试求铰 链A的约束力及支杆BC所受的力。

A

F

D
30

B

C 东北大学秦皇岛分校

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

解:1) 取横梁AB为研究对象,画受力图; 2)列*衡方程,建立Axy坐标系;

?F

xi

? 0, ? FA cos30 ? FB cos30 ? 0 ? 0, FA sin30 ? FB sin30 ? F ? 0
y A

?F

yi

3)联立求解。

F
D
30 F B

FA ? FB ? F ? 15 kN

B

FA 30
E

x

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【练*题3】边长为a的直角弯杆ABC的A端与固定铰链支 座联结, C端与杆 CD用销钉联结,而杆 CD与水*线的夹 角为60o,略去各杆的重量。沿BC方向作用已知力 F=60N。 试求A,C两点的约束力。 a C A
60

F B

a

D

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工程力学 2) 列*衡方程;

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

解:1) 取ABC为研究对象,受力图如图。 y C x
60

?F

?F

xi

? 0, F ? FA sin 45 ? FC cos 60 ? 0 F B
? 0, FC sin 60 ? FA cos 45 ? 0
45

yi

FC

3)联立求解。

FA =-53.79 N, FC ? 43.92N
正值表示受力图中所假设的指向 与真实的方向一致;

A
F B

FA

C
45
75

负值表示受力图中所假设的指向 与真实的方向相反。

FC

A

FA

注意:坐标轴(投影轴)可以任意选取,与合成结果无关, 最好取成与各分力夹成已知角度,以便于投影计算。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

§2.5 力矩和合力矩定理
(1)力对点之矩 力对点之矩(力矩)是为了描述 刚体运动中的转动效应。 力F对刚体产生的绕*面上O点 A

? B F
h

的转动效应取决于:
转动效应的强度:Fh; 转动的方向:顺时针或逆时针。

O

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

定义: mO ( F ) ? ? Fh 为力对点之矩。

其中:
O 为参考系中的某一点,称为矩心。 h 为矩心至力F作用线的垂直距离,称为力臂。

mO ( F ) ? ? Fh ? ?2?OAB
规定:

?F ? h ?F ? h

A

? B F
h

O 即:力使刚体绕矩心逆时针转动时为正, 顺时针转动时为负。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

*面中力对点之矩是一个代数量。

力矩在下列两种情况下等于零: (1)力的大小等于零; A

? B F
h

(2)力的作用线通过矩心,
即力臂等于零。 力矩的单位常用N· m或 kN· m。

O

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工程力学 (2)力对点之矩矢 1)力对点之矩矢的概念

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

在空间问题中,力对刚体产生的绕O点的转动效应 取决于三个要素: ①大小:力F与力臂的乘积; ②方向:转动方向;

③作用面:力矩作用面。

mO ( F ) ——力对点之矩矢,是一个过矩心O的定位矢量,
是力对刚体转动效应的度量。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

2)力对点之矩矢的矢量积表示式

r ? F ? rF sin ? ? Fh

mO ( F )

mO ( F ) ? r ? F

A ?
F

r
h O

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工程力学 (3)合力矩定理

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

合力矩定理:合力对任一点之矩等于诸分力对 同一点之矩的矢量和。 即:

mO ? mO ( F1 ) ? mO ( F2 ) ? ?????? ? mO ( Fn ) ? ? mO ( Fi )

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

§2.6 力偶和力偶钜
(1)力偶的概念
日常生活中力偶,比如: 用手拧钥匙、汽车司机双手 转动驾驶盘,水龙头开关等。 力偶的概念 : 由大小相等、方向 相反,作用线*行的两个力组 成的力系称为力偶。用( F , F′ ) 表示。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

力偶作用面:由一对力 F 所组成的*面; 力偶臂:构成力偶的一对力的作用线间的距离,用 h 表示; 作用效应:

使刚体的转动状态发生改变。

度量转动作用效应的物理量。 单位为N· m或kN· m。 F

h

F?

力偶系:作用于刚体上的一群力偶。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

(2)力偶的性质
力偶是一个基本力学量,不能和一力等效,即力偶不能合 成为一合力,或力偶无合力。

力偶不能与一力相*衡,只能和力偶相*衡。

R=F'-F=0 力偶 无合力

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

(3)力偶钜概念 *面有一对力偶 ( F , F ?) ,将它们对O 点取矩。
根据力对点之矩,力偶对O 之矩为: A M

mO ( F , F ?) ? mO ( F ) ? mO ( F ?) ? rA ? F ? rB ? F ? mO ( F , F ?) ? rBA ? F

? F

rBA ? rA ? rB ? F? d B rA
rB

? rA ? F ? rB ? (? F ) ? (rA ? rB ) ? F

O

力偶矩:力学中将力与力偶臂的乘积并冠以正负号成为力偶 钜,记为 m( F , F ?) 用以衡量力偶对刚体的转动效应。 东北大学秦皇岛分校

工程力学 力偶转动效应三要素

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

力偶臂长短

转动方向

力的大小

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

m( F , F ?) ? m ? ? Fh
*面力偶是一个代数量,其绝对值等于力的大小和力偶臂 的乘积,正负号表示力偶的转向。 规定:力偶使刚体在作用面内逆时针转动时为正,顺时针 转动时为负。 力偶钜单位为N· m或kN· m。

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工程力学 (4)力偶等效定理

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

作用在同一*面内的两个力偶,只要它的力偶矩的大小相等, 转向相同,则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体的某一*面上作 用一力偶(F,F ')

现沿力偶臂AB方向加一 对等值、反向、共线的 *衡力Q和Q ‘)。
将Q,F合成R, Q ' , F '合成R ' ,得到新 力偶(R,R'), 将R,R '移到A ' B'点,则(R,R '),取代了原力偶(F,F' ) 并与原力偶等效。 东北大学秦皇岛分校

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

比较(F,F‘)和(R,R')可得 m(F,F')=2△ABD=m(R,R') =2 △ABC 即△ABD= △ABC, 且它们转向相同。 由上述证明可得下列两个推论: ①力偶可以在其作用面内任 ②只要保持力偶矩大小和转向不

意移动,而不影响它对刚体
的作用效应。

变,可以任意改变力偶中力的大
小和相应力偶臂的长短,而不改 变它对刚体的作用效应。

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

§2.7力偶系的合成与*衡
(2)*面力偶系的合成:设有两个力偶(F1,F1′) (F2,F2′) d d

(1)*面力偶系:作用在物体同一*面的许多力偶叫*面力偶系。

? m1 ? F1d1;

m2 ? ? F2 d 2

又m1 ? P 1d
m2 ? ? P2?d

RA ? P1 ? P2' ' RB ? P 1 ?P 2

?合力矩 M ? RA ?d ?( P1 ? P2' )d ? P1d ? P2' d ?m1 ?m2
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工程力学 结论:

第二章 *面汇交力系和*面力偶系

m ? m1 ? m2 ?

? mn ? ? mi
i ?1

n

*面力偶系可以用一个合力偶等效代替,其合力偶矩等于原 来各个分力偶的代数和。 (3)*面力偶系*衡的充要条件是:合力偶矩等于零,或所 有各力偶矩的代数和等于零。即

?m ? 0
i i ?1

n

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【例2.5】 简支梁AB,如图所示。其上作用一力偶钜m的 力偶,已知梁长为L,不计自重,求支座反力。

m
A B

L

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【例2.6】 铰接四杆机构OABO1在图示位置*衡,如图所
示。已知OA=40cm,O1B=60cm,作用在OA上的力偶的 力偶钜m =1Nm。试求力偶钜m 的大小和杆AB所受的力,
1 2

各杆自重均不计。 B 30 O m2 O
1

A

m

1

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【练*题4】 图示的铰接四连杆机构OABD,在杆OA 和 BD 上分别作用着矩为 m1 和 m2 的力偶,而使机构在图示 位置处于*衡。 已知OA = r,DB = 2r,α= 30°,不计杆重,试求 m1 和 m2 间的关系。 B A O

α

m1

m2

D

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

解:1)画受力图,杆AB为二力杆。
A 2)分别写出杆AO 和BD 的*衡方程:

α FAB
O

m1

? mi ? 0,
m1 ? FAB r cos ? ? 0

FO FBA

B

?m2 ? 2FBAr cos ? ? 0
FAB ? FBA m2 ? 2m1
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m2
D

FD

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【练*题5】 图示机构在图示位置处于*衡。 已知,a:b=c:a,不计杆重,求A,B两点的约束力。

b
a

c C B

m
A

c

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

解:1)画受力图,BC为二力杆。 2)列*衡方程:

?m
FA ?

i

? 0,
a ?b ? 0
2 2

FC
m
A C

?m ? FA
m

a 2 ? b2

FA

FC?

C

? ? FC ? FA ? FB ? FC

m a ?b
2 2

? FB

B

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【练*题6】各构件不计自重,在构件BC上作用一力偶矩 为m的力偶。试求支座A的约束力。

m

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

解:1)以BC构件为研究对象,画出分离体及其受力图。 根据力偶*衡条件,列*衡方程 :

?m ? 0,
i

m ? FC ? l ? 0
m

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

2)以ACD构件为研究对象,画出分离体受力图。根 据力偶*衡条件,列*衡方程:
m ?mi ? 0, ?FD ? l ? FC? ? l ? 0 ? FD ? l m A点约束力为: FAx ? m , FAy ? 方向与图示一致。 l l

m

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第二章 *面汇交力系和*面力偶系

【练*题7】 图示曲柄滑道机构中,杆AE上有一导槽,套在 杆BD的销子C上,销子C可在光滑导槽内滑动。已知 m1=4KN· m,转向如图,AB=2m,在图示位置处于*衡, α= 30。试求m2及铰链A和B的反力。

A

m1

C

D

α
2m

E

m2
B

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